מה אומרים על הוראת המתמטיקה

תובנה מספרית (מושג מספר / חוש למספרים) מתייחסת לתפיסות ויכולות  של עולם המספרים שעליהן נישענת  הגישה העכשווית  להוראת המתמטיקה.   לאנשים הפועלים מתוך תובנה מספרית יש הבנה מעימקה ופנימית של גודל המספרים, הקשרים ביניהם והשפעות הפעולות  שניתן לבצע עליהם.  

לעומת הגישה המסורתית להוראת המתמטיקה שבה הדגש הוא על לימוד בעל פה של הדרכים המקובלות לפתרון תרגילים ובעיות, פיתוח תובנה מספרית מצריך מעורבות בנושא וחשיבה פעילה. חשיבה זו מאפשרת בנייה של הבנות הולכות ומתפתחות על בסיס ניסיון פיזי בעולם – תשומת לב לתכונות המתמטיות של העולם ועיבודן.  בהמשך, בעזרת החשיבה, מושגים מופשטים יותר ויותר ייתפסו בעצמם כדברים מוחשיים. (לדוג', עבור ילדים קטנים ייתכן שהמספר 5, סמל לכמות הכוללת 5 דברים,  הוא דבר מופשט ולא מובן. לאחר ניסיון רב עם המספר ומשמעותו, הילדים מתחילים להתייחס אליו כמובן מאליו, כדבר שהוא עצמו דבר מוחשי. בהמשך הם יוכלו להשתמש בו בגמישות ובקלות כשפותרים תרגילים מתקדמים יותר.) תהליך זה,  שבו מושגים מופשטים הופכים ל'עצמים' מוחשיים,  ממשיך לכל אורך למידת המתמטיקה, בכל רמות ההפשטה.

תובנה מספרית ותובנות מתמטיות אחרות (הכוללות, בין היתר, תפיסה מרחבית, ראיית חוקיות, תפיסה והשערה של מרחקים…) מהוות בסיס לא רק להתקדמות בהבנת משמעותה של המתמטיקה הננלמדת בבית  הספר, אלא גם להתנהלות טובה יותר בחיים באופן כללי.

פיתוח תובנה מספרית 

תובנה מספרית בסיסית מולדת במידה משתנה, גם בבני אדם וגם בבעלי חיים אחרים. אצל ילדים אפשר לקדם תובנה מספרית בעזרת התיווך של מבוגרים, או של ילדים שהבנתם מתקדמת יותר, שדואגים להצביע מצביעים על התכונות המתמטיות של העולם שבתוכו אנחנו חיים. בעזרת הוראה מכוונת לתובנה מספרית ילדים יוכלו:

1. להבין את המשמעות של כמויות שונות (יכולים לדמיין כמויות של 10, 100, 1000 ואולי אפילו מעבר לכך)
2. להכיר ייצוגים שונים של המספרים (5X2 = 13-3 = 9+1 = 10) ולדעת לבחור ייצוג מסויים מבין האפשרויות כדי לבצע חישובים באופן יעיל (לדוג', כדי לפתור את התרגיל 6 + 8, אם יודעים ש- 8+2 שווה 10, אפשר להוסיף עוד 4 כדי להגיע ל-14).
3. לחוש את הגודל היחסי של המספרים (ש-25 קטן מ-30 אבל הרבה יותר קטן מ-1000) גם כדי להבין את משמעותם וגם כדי לאמוד תוצאות של פעולות באופן הגיוני (30X3 חייב לתת תוצאה קטנה יותר ממאה)

יש מגוון דרכים שבהן הוראת המתמטיקה עשויה להוביל ילדים לפתח תובנה מספרית. ראשית, כשמדובר  בילדים קטנים,  חשוב  לעודד מנייה של עצמים (דברים מוחשיים), גם כדי ללמוד למנות באופן משמעותי (לא רק לדקלם את שמות המספרים)  וגם כדי לפתח את משמעות המספרים ואת סדר גודלם.

הדגש על אומדן: לילדים קטנים וגדולים, וגם למבוגרים, הדגש על השערת אומדנים הוא דרך פשוטה, מעניינת וטובה להגברת המוטיבציה לחשוב על הפן המתמטי של העולם. אפשר לשער את מספר המדרגות בגרם מדרגות לפני שעולים וסופרים, לאמוד את מספר התותים בצלחת ואז לספור, לאמוד את מספר הצעדים מהבית לפינה, להחליט עם קופסה מסויימת מספיק גדולה כדי להכיל את כל הלגו, לאמוד את התוצאה של תרגיל חשבוני לפני שפותרים אותו….ואז לבצע את הפעולה ולראות עד כמה קרובוה היה האומדן.

 משחקי 'מלחמה': גרסאות שונות של משחק המלחמה בונות תובנה מספרית מתוך כך שהם מתייחסים להבנה ולהשוואת סדרי גודל. המשחק המסורתי הבסיסי יכול לקדם את הבנת הכמויות של ילדים קטנים, ומשחקים מתקדמים יותר, שבהם יש צורך להשוות בין סכומים של מספרים, בין שברים פשוטים,  או בין שטחים של מצולעים יקדמו את ההבנה של ילדים גדולים יותר.

פתרון בעיות: דרך נוספת לקדם תובנה מספרית  היא ע"י הצגת בעיות מאתגרות שעל ילדים  לפתור בעזרת דרכים אישיות הבונות על הידע הקודם של כל אחד ואחת. על הילדים לשקול את המצב הנתון, להחליט על דרך פתרון הגיוני ולבצע חישובים בהתאם. לאחר מכן עליהם להציג לאחרים את הפתרונות שלהם בצורה ברורה, כך שהם גם לומדים אחד מהשני וגם מבינים בצורה עמוקה יותר ובדוקה את הפתרון שלהם עצמם.

ברודי – מאמר על תובנה מספרית 

המדידה היא פעילות מתמטית טבעית ושימושית העונה על צרכים רבים בחיי יומיום.

אנחנו משווים ומודדים ממדים כמותיים שהם מוחשיים יותר (אורך, שטח, נפח) ומוחשיים פחות (זמן, זוויות), ומנסים להשוות ואפילו למדוד תופעות מופשטות (הבנה, שביעות רצון, אהבה). הסיבות למדידה הן שונות ומגוונות, אבל הן תמיד מתחילות ברצון שלנו להשוות באופן כמותי תכונות מסוימות של עצמים או אירועים. מקובל בספרי לימוד מתמטיקה ללמד ילדים למדוד ע"י כך שאומרים להם מה למדוד ואיך למדוד אותו. אך כדי שהמדידה תהיה משמעותית  ומובנת לילדים, עליהם לדעת ממה היא מורכבת, לחוש את הצורך למדוד ולהרגיש שהמדידה מועילה לדבר מסוים – לא רק למדוד כי אומרים להם שצריך.

תקציר

יש עקרונות בסיסיים שעל ילדים להבין כשהם באים לעסוק במדידות כפי שהן נעשות בחיי יומיום. שלבי העבודה שיעזרו להם להגיע לכך נבנים זה על גבי זה. השלבים הם:

• השוואה ישירה
• השוואה בעזרת מתווך
• מדידה בעזרת יחידות שרירותיות
• מדידה בעזרת יחידות מקובלות

השוואה

ההשוואה (של ממדים כמותיים) היא פעולה פשוטה יחסית הנעשית לעתים קרובות באופן טבעי,  במצבים שבהם מספיק לדעת מה יותר או מה פחות. 

מקורות המדידה נמצאים ברצון ובצורך של בני אדם פשוט להשוות את המימדים של שני עצמים או אירועים – מה ארוך יותר, מה יקר יותר, מה סמיך יותר. אך גם להשוואה נכונה בין דברים יש צורך בהבנה בסיסית של  חלק מהעקרונות של פעולת המדידה. אם ברצוננו, למשל, להשוות את הגובה של שני אנשים, עלינו לדאוג לכך ששניהם יעמדו ושיהיו יחפים, כדי שהקו ההתחלתי של כל אחד מהם יהיה זהה. אם תנאי זה יתקיים, אפשר לסמוך על כך שהנקודות שאליהן יגיעו שני האנשים יגלו לנו מי מהם אכן גבוה יותר.

האם פעם תהיתם על כך שילדים קטנים יכולים לעמוד על כיסא ולומר שהם גבוהים מכם? אולי חשבתם שהם מתבדחים אתכם – אבל הם לא! ההבנה ששניכם צריכים להתחיל מאותה נקודת גובה תלויה בשלב ההתפתחותי של הילד. אם הילדים שלכם עדיין לא מבינים את החשיבות של הדבר, אפשר להפגיש אותם עם מצבי השוואה שונים ולשאול שאלות עדינות שיובילו אותם לאט לאט להבנה זו. (לא כדאי לתקן אותם, סביר להניח שלתיקון אין משמעות עבורם. אפשר לעומת זאת לשאול שאלות שיגרמו להם לחשוב, דבר שיכול לעזור להם, לאט לאט, לשים לב לסיבה שעמידה על כיסא לא מעידה על כך שהם באמת גבוהים יותר ממך.)

הדבר דומה בהשוואת זמן. בתחרות ריצה, למשל, יש צורך לדאוג לכך שהרצים יזנקו באותה נקודת זמן… ואם לא כך, אי אפשר לדעת שהרץ שהגיע לנקודת הסוף ראשון אכן רץ מהר יותר.

עקרון נוסף של השוואה הוא הצורך להתמקד בתכונה שאותה רוצים להשוות. המילים גדול יותר וקטן יותר לעיתים קרובות גורמות לבלבול. האם מדובר בגיל, בגובה, בהיקף…? כשאנחנו קונים מחברת גדולה , למשל,  האם מדובר בגובה שלה, בשטח שלה, בעובי שלה? קביעת המימד שברצוננו להשוות תלויה במטרת ההשוואה – האם חשוב לנו שיהיה הרבה מקום לצייר על הדף, או שהמחברת תשמש למספר נושאים ולכן היא צריכה להיות עבה יותר. (כמו כל דבר בהוראת המתמטיקה, חשוב שהעבודה עם ילדים תישען על הרצון שלהם והצורך שלהם לבצע את הפעולה. כשמדובר בהשוואה בין דברים, מה מהר יותר, מה חזק יותר, מה כבד יותר…) כמן כן, במקרה של קניית מחברת,  אין צורך למדוד את המימד שחשוב לנו – מספיק לערוך השוואה בין מחברות כדי לקבוע איזו מתאימה לי ביותר. החשיבות של קביעת המימד שמתכוונים אליו  קיימת באותה מידה גם כאשר מדובר בהשוואה או במדידה, וניתן להביא את המימדים השונים לתשומת לב הילדים במסגרת העבודה שלהם על השוואות, כבסיס להבנת פעולת המדידה מאוחר יותר.

קיימים שני סוגים של השוואות: "השוואה ישירה" ו"השוואה באמצעות מתווך". להלן שתי דוגמאות של פעילויות שניתן לעשות עם ילדיכם שימחישו את שני הסוגים:

1. השוואה ישירה: האם המפה הזאת מספיק גדולה כדי לכסות את השולחן?

זוהי שאלה שניתן לענות עליה בעזרת השוואה ישירה בין השולחן לבין המפה – פשוט מניחים את המפה על השולחן ורואים אם היא מתאימה. אפשר כמובן למדוד את האורך והרוחב של המפה ושל השולחן לפני שמניחים אותה, אבל בפועל אין שום היגיון לעשות כך.

דוגמאות נוספות להשוואה ישירה: מדידת נעליים בפועל (מספר הנעל לא תמיד מבטיח שהנעל מתאימה!), השוואת גבהים כשעומדים זה לצד זה, תחרות ריצה כשרואים בעין מי הגיע לפני מי.

2. השוואה בעזרת מתווך: האם לדעתך אפשר יהיה להכניס את שולחן הכתיבה שלך בין המיטה לבין הדלת?

מכיוון ששולחן הכתיבה הוא רהיט כבד, לא כדאי לענות על שאלה זו באמצעות השוואה ישירה (הזזת השולחן בפועל כדי לבדוק אם הוא נכנס). בעצם, אין בעיה למדוד את השולחן ואת המקום המיועד בעזרת מכשיר מדידה (מטר, למשל), אבל פה אין בכך צורך: ניתן לקחת חוט, לסמן עליו בעזרת האצבע את רוחב השולחן, ואז לבדוק אם שולחן ברוחב זה  ייכנס למקום המיועד. השוואה מסוג זה נקראת – "השוואה בעזרת מתווך", כאשר החוט הוא המתווך בין השולחן לבין המקום המיועד.

"השוואה בעזרת מתווך" היא השלב השני בהתפתחות הבנת פעולת המדידה. היא נחוצה לצורך השוואה כשאי אפשר לבצע השוואה ישירה, והיא מתאפשרת, כמו בהשוואה ישירה, כאשר הצורך שלנו הוא רק לדעת מה יותר או מה פחות, בלי לדעת בכמה.

דוגמאות נוספות של השוואה בעזרת מתווך: סיום תכנית הטלוויזיה מעיד על כך שצריך לאכול ארוחת ערב (תכנית הטלוויזיה היא המתווך); השוואה בין הנפחים של שתי כוסות – אם המים בכוס הראשונה עולים על גדותיה של הכוס השנייה, ניתן לדעת שהכוס הראשונה מכילה יותר (כאן המים הם המתווך). זהו משחק נהדר וחשוב לשחק עם ילדים בזמן האמבטיה!

מדידה

במדידה, לעומת השוואה, אנחנו משתמשים ביחידות מידה המאפשרות לנו לתת מספר למידת העצם. הדבר מאפשר גמישות יתר בניסיוננו להשוות בין עצמים. הוא מאפשר לנו להשוות בין עצמים הנמצאים במרחק אחד מהשני או במרחב או בזמן, להשוות מידות של יותר משני עצמים, וכן לדייק בתוצאה. במבט ראשון נראה שהמדידה היא דבר פשוט למדי – אם רוצים לדעת מהו אורך עצם מסוים, מניחים סרגל לצדו ובודקים עד איזה מספר הוא מגיע; אם רוצים לדעת מה משקלנו, עולים על משקל ובודקים מה הוא מציין. אך למעשה המדידה היא פעולה מורכבת שכדי לבצע אותה כהלכה ולהבין את פשר תוצאותיה, יש צורך בהבנות בסיסיות קודמות. כמו שראינו, חלק מההבנות ניתן לתרגל עם ילדים בפעולות השוואה, כאשר אין צורך לדעת את המידה באופן מדוייק.

• נקןדת התחלה משותפת: כדי שתהיה משמעות לתוצאת המדידה עלינו להתחיל למדוד מנקודת האפס. במדידת  אורך של עפרון, למשל, יש צורך להניח את העפרון בנקודת האפס המסומנת  על סרגל  ורק אז לבדוק עד איזה מספר העפרון מגיע. רק כך נוכל להשוות את המידות של מספר עפרונות. שימו לב שבהרבה סרגלים נקודת האפס לא נמצאת בדיוק בקצה של הסרגל ולכן עלינו להיות מודעים לעובדה זו, להבין את משמעותה ולקחת אותה בחשבין כשמודדים.  כמו כן, בתחרות ריצה,  על הרצים לצאת לדרך באותו רגע,  ובשקילה בעזרת מאזניים על הכפות להיות מאוזנות.

• ציון התכונה שאותה רוצים למדוד: בכל מדידה אנחנו מסתכלים על תכונה אחת של עצם או אירוע. אנחנו בודקים את אורך השולחן ולא את השטח שלו, את היקף הראש ולא את גובהו, את אורך השיר ולא את מספר הבתים שבו, את משקל הילד ולא את גובהו.

• יחידות מידה זהות: כדי שדבר־מה ייחשב כיחידת מידה, על היחידות להיות זהות. לדוגמה, אם מנסים למדוד מרחק בעזרת צעדים, עלינו להשתמש בצעדים של בן אדם אחד, ולהשתדל שכל הצעדים יהיו שווים פחות או יותר. אם מודדים זמן בעזרת מטוטלת, למשל, עלינו להבין שכל הפעימות שלה זהות, ורצוי גם להבין איך ומדוע  זה קורה שכולן זהות (פעילות נהדרת לבצע עם ילדים וגם עם מבוגרים!).

• מידת הדיוק הנחוצה: כאשר אנו מודדים, אנו עוסקים בעצמים, מצבים או אירועים אמיתיים. לכן המדידה, למרות המאמצים שלנו לדייק, לעולם לא תהיה מדויקת במאה אחוז (אפילו מדידות שבהן אנו נעזרים בטכנולוגיות מתקדמות, עדיין אנו עלולים לטעות ב-0

הגישה ללמידת המתמטיקה המוצגת כאן באתר, ובספר "מתמטיקה – מה הבעיה?", מבוססת על האמונה שבבסיס לימוד המתמטיקה עומדת הבנה עמוקה של הנושאים שאותם ילדים לומדים. הכוונה היא הבנת מהות המושגים והפעולות שהם לומדים, בניגוד להבנת 'מה צריך לעשות כדי להגיע לתשובה הנכונה'. ההצלחה בלמידה נחשבת לא כיכולת התלמידים להגיע לתשובות נכונות (שהרבה פעמים איננה אינדיקציה להבנה), אלא כיכולת ללמוד ולהגיע באופן הדרגתי להבנה עמוקה של נושאים מתמטיים וחשיבותם.    במדור זה אנסה לפרק נושאים מתמטיים שונים למרכיביהם כדי שאפשר יהיה לדעת מהן ההבנות הבסיסיות המרכיבות הבנה טובה של כל נושא.
עם הזמן, אוסיף קריטריונים לנושאים נוספים לעיונכם.

קריטריונים להבנת משמעות השבר

1. כשמדובר בשברים, מדובר בחלוקה לחלקים שווים.
2. גודל השבר תלוי בגודל השלם (חצי של שקל אחד הוא לא אותו הדבר כמו חצי של שני שקלים).
3. בשבר הכתוב, המספר מתחת לקו ('המכנה', שהוא ה"כינוי" של השבר) מתייחס למספר החלקים שאליהם חולק השלם, והמספר מעל הקו ('המונה', שהוא מונה את מספר החלקים ) מתייחס למספר החלקים שאליהם מתכוונים באותו רגע.
4. שברים הם דרך נוחה לבטא חילוק של כמות כלשהי (במקום לומר 4 לחלק ל-2, אפשר לומר שני רבעים, 2/4).
5. לכל שבר יש מספר אינסופי של שמות (את השבר ¾ אפשר לכנות 9/12, 30/40, 11/44, 12/48…)

קריטריונים להבנת פעולת החילוק