השוואות ומדידות – חומר רקע ופעילויות

חומר רקע

ישנה תפיסה רווחת הרואה את הוראת המדידות כביצוע צדדים מסויימים שייתנו את  התוצאה הנכונה.
ראייה זו אינה לוקחת בחשבון את מהות פעולת המדידה ואת ההבנות העומדות מאחוריה.

מהות המדידות מבוססת ונובעת מהשוואות כמותיות, פעולות שכיחות בחיי הילדים מגיל צעיר: מי גדול ממי, מי קיבל יותר עוגה, מי צבר יותר קלפים… פעילויות הקשורות בהשוואות והבנתן חשובות בפני עצמן וגם מבטיחות הבנה עמוקה של נושא המדידות.

 

סביר להניח שאצל האדם הקדמון הסיבה הראשונה שבגללה התחילו  למדוד היה כדי להשוות בין שני עצמים או אירועים. האם העורות גדולות מספיק כדי לתפור מהם בגד מתאים? מי הרץ המהיר ביותר בשבט? אצל מי החנית הארוך יותר?   כדי לקבל תשובות לשאלות אלה מספיק היה להשוות את העצמים אחד עם השני באופן ישיר – להחזיק את העור מסביב למותן, לבדוק מי הגיע ראשון ליעד, או להניח את החניתות אחת ליד השנייה. פעולה זו של השוואה הייתה משמעותית גם עבור האדם הקדמון, וחשובה במיוחד גם עבור ילדים קטנים שעדיין אין להם התפיסה של השלם וחלקיו (ראו ידיעון מספר 9 – השלם וחלקיו).

כדי לתמוך בהבנה מלאה של  פעולת המדידה, חוקרים מזהים שלבים בהתפתחות הבנת  הילדים, ומציעים למידה מדורגת שתביא הבנה זו באופן מבוסס והדרגתי.

השלבים הם:

1. השוואה, (ללא יחידות מידה) שבה משווים שלם אחד עם השני (שהרי הסיבה שאנחנו מודדים היא כדי להשוות בין גדלים)

ישנם מספר עקרונות ושיקולים שחשוב להיות מודעים אליהם בשלבים בהם עוסקים בהשוואות בלבד, ללא שימוש ביחידות מידה:

על הילדים להרגיש את הסיבות שבגללן הם מבצעים את הפעולה. עצם זה שמורים או חוברות לימוד מורים לילדים שעליהם למדוד משהו כלל לא  מקדם את הבנתם של הנושא, ועלול להגביר את תחושת השרירותיות שבעבודה. על מנת שהעבודה תעורר בהם מוטיבציה ותקדם את הבנת הנושא עבורם, על ילדים להרגיש בעצמם את הצורך לבצע אותה.

על הילדים לשקול היטב את הסיטואציה ולהכיר ולזהות את המאפיין שהם עומדים לבדוק. כשמדברים על מי גדול יותר, למשל, האם מדובר בגובה או בגיל (או ברוחב!)?

מתוך הפעילות, על הילדים לפתח מודעות  לכך שכדי להגיע תוצאות מהימנות, עליהם לשים לב ולהבין את החשיבות של נקודת התחלה משותפת.

ישנן שתי דרכים להשוות בין דברים:

א) השוואה ישירה – השלב הבסיסי ביותר כשבאים להשוות בין שני עצמים או אירועים (למשל, מי גבוה יותר, או מי ניצח במרוץ)

ב) השוואה בעזרת מתווך – משתמשים במתווך כאשר אי אפשר להשוות בין שנע עצמים באופן ישיר.  למשל, אפשר להשתמש במקל המטאטא כדי לבדוק מה רחב יותר – החלון או הדלת)

 

2. מדידה – שמטרתה לכמת את גודלם של שלמים ע"י חלוקתם לחלקים שווים שהם למעשה יחידות המידה

 

ג) מדידה בעזרת יחידות לא סטנדרטיות

כאשר יש צורך בכימות גודלם של העצמים הנמדדים, הדרך המקובלת היא ע"י השימוש  ביחידות מידה סטנדרטיות מקובלות. אך כשמדובר בלמידה משמעותית של פעולת המדידה, יש  מספר בעיות בשימוש הבלעדי והאוטומטי ביחידות הסטנדרטיות:

–	הגדלים של היחידות הסטנדרטיות הם לעיתים קטנות או גדולות מדי בכדי להיות משמעותיות לילדים. הסנטימטר או שניות, למשל הן יחידות קטנות מאד שלא מדברות אל ילדים בראשית דרכם.
–	השימוש האוטומטי ביחידות הסטנדרטיות מונע מילדים לבחון את הסיטואציה ולשקול את צעדיהם בהתאם.
–	אם משתמשים ביחידות שניתנות מראש, אם על ידי מורים או אם על יד חוברות הלימוד, הילדים עלולים לא לתת את הדעת על הסיבות לגבי משמעותן, הסיבות בגללן הן הומצאו, היתרונות שלהן והדרך הנכונה להשתמש בהן.
–	כשמשתמשים ביחידות סטנדרטיות באופן אוטומטי, המשימות שנותנות לילדים הן הרבה פעמים "הוראות ביצוע", הוראות שאם מבצעים אותם כהלכה, תצא תוצאה נכונה. הדגש הוא על התוצאה ולא על הבנת הפעולה.

וישנן לא מעט סיבות נוספות  להתחיל עם יחידות לא סטנדרטיות, יחידות שהתלמידים בוחרים בהתאם לנוחיותם: הם נמצאים בסביבה, הם קלים לשימוש, הם בגדלים שמדברים אליהם ולכן מאפשרות  להם לאמוד את התוצאה לפני שהם מבצעים את המדידה. בכך הם גם מונעות טעויות גסות בתוצאה.

 

ד)  מדידה בעזרת יחידות סטנדרטיות (כאשר יש צורך לתקשר עם העולם ע"י השימוש ביחידות משותפות)

במקום לגשת למדידות באופן אוטומטי וללא חשיבה, אפשר וחשוב לבצע מדידות בעזרת יחידות סטנדרטיות בצורה מחושבת כמו ביחידות הלא סטנדרטיות.

 פעילויות מדורגות להבנה עמוקה של פעולת המדידה

פעילויות אלה מתאימות לכל הגילים, בהתאם לניסיון העבר של התלמידים. כדי להבין לעומק את משמעות המדידות כל אחד ואחת צריכ.ה לעבור התנסויות בכל סוגי המדידות,  שהם גם שלבי הלימוד. (אפשר לקרוא עליהם  ב לינק זה. רוב הפעילויות המוצעות   כאן מכוונות  להתרחשויות רגילות שפוגשים אותן במשך היום. החידוש הוא במודעות של המבוגר לאופי המתמטי שלהם, ותיווכו לילדים.

בעבודה המבקשת להיות משמעותית לילדים, בשלב ראשון על הילדים לדעת בשביל מה הם עומדים להשוות או למדוד מלכתחילה. הילדים צריכים להרגיש את הצורך לבצע את הפעולה, ומתוך כך לזהות את המאפיין  (גובה, היקף, זמן…) שאותו הם עומדים לבדוק.  קריטריון זה של הבנה  אינו קיים כאשר ילדים מבצעים את המדידה על פי בקשת מבוגר.

להלן תמצאו פעילויות שייתנו לילדים להתמודד עם מצבים מדורגים שיבטיחו הבנה עמוקה של פעולת המדידה. בכל פעולה של השוואה או מדידה, כדאי וחשוב קודם להתבונן רגע על הדבר ולשאר מה תהיה תוצאת הפעולה. כך תהיה משמעות גדולה יותר לפעולת ההשוואה או המדידה, גם בגלל שמבינים טוב יותר מה עומדים לעשות, וגם כדי לתת מוטיבציה להשוות או למדוד. ברגע שמבקשים השארה, לילדים, וגם למבוגרים, יש מוטיבציה לבדוק עד כמה צדקו בהשארה שלהם. זוהי דרך טובה להבטיח שיתוף פעולה של ילדים בנעשה, גם כשהמדידה אינה כורך המציאות.

1) השוואה ישירה

כשבאים להשוות בין עצמים, יש מספר פעולות-קדם שחשוב לחשוב עליהן  לפני שמבצעים את ההשוואה עצמה:

– זיהוי הצורך והרצון להשוות

– זיהוי המאפיין שמתכוונים להשוות

– זיהוי האפשרות להשוות

– בחירת דרך נוחה להשוואה

– קביעת נקודה התחלתית משותפת (כשמדובר  בעיקר בהשוואת אורך וזמן), או דאגה לאיזון  כאשר מדובר בהשוואה בעזרת במאזניים )

 

הפעילויות:

א) מי גבוה יותר? בודקים על ידי השוואה ישירה – עומדים אחד ליד השנייה. שואלים "איך יודעים?"

מעמידים את הילד/ה על כסא ושוב שואלים מי גבוה יותר ואיך יודעים? "מה השתנה הפעם?" ילדים מאד קטנים לא רואים את שתי הקצוות, מכף הרגל עד לראש,  בעת ובעונה אחת. אם הראש מגיע  לנקודה גבוהה יותר, מבחינתם הם גם גבוהים יותר! הם לא מתבדחים איתכם…הם רציניים!  חשוב לא לתקן אותם, אלא לשאול שאלה עדינה כדי לבדוק מה יקרה אם תסבו את תשומת ליבם לכך שהם עומדים על כסא. אם הם עוצרים לחשוב קצת, סימן שהם מתחילים להבין את העניין, ובקרוב יבינו אותו. אם לא, סימן שהם עדיין בשלב התפתחותי שלא מאפשר להם לקחת בחשבון את שתי הקצוות.

אם אתם מתקנים אותם, הם עלולים לתת את התשובה הנכונה רק בגלל שאתם אמרתם להם מה נכון, לא בגלל שהם מבינים.  אם מזמנים להם מספיק התנסויות כאלה, עם רווחי זמן בין התנסות להתנסות,  לאט לאט תראו שהם מתחילים לשקול את שני מרכיבי המצב ומגיעים להבנה.

ב)  כל תחרות שבה מתחילים מאותה נקודה – ריצה, לעמוד על רגל אחת, להתכונן למיטה, לצעוד לבית הספר… אתם שואלים שאלות כדי להסב את תשומת ליבם של הילדים לחשיבות של נקודת התחלה משותפת.

ג) נדנדה בגן שעשועים – מי שוקל יותר? איך יודעים מי שוקל יותר? משארים ואז בודקים. אפשר לבדוק מספר זוגות ילדים שונים.

ד) קניית נעליים, בגדים חדשים או קסדה חדשה –  למרות שמהיצרנים משתמשים במידות, הדרך היחידה באמת לדעת שהמידה מתאימה לכם  היא על ידי השוואה ישירה – לובשים את המוצר ("מודדים" אותו) ובודקים! זוהי בעצם השוואה ישירה, ולא מדידה.

ה) במטבח – כשמעבירים אוכל לכלי אחסון – האם לדעתך יש מספיק מקום בכלי? מי חושב שכן/לא?  ובסופו של דבר  מנסים על ידי השוואה ישירה – מכניסים את האוכל  לכלי בתקוה שיש מספיק מקום. ניסיון רב במטבח משפיע על היכולת לשאר נכון!

ו) חנוכה – תחרות סיבוב סביבונים, ו"תחרות" בין הנרות שהדלקתם בחנוכיה.

ז) טעויות אופטיות – לדוגמה, אם מניחים שני מחזיקי כוסות מקרטון זהות אחד ליד השני אחד מהם תמיד ייראה גדול יותר מהשני. לפעמים הדרך היחדיה להשתכנע שהם אכן זהים היא על-ידי הנחת אחד על השני, ז"א, השוואה ישירה. תנסו אתם!

 

2 השוואה בעזרת מתווך

כשאי אפשר להשוות באופן ישיר, ומזהים את הקושי בלבצע השוואה ישירה,  אפשר להשתמש במתווך כלשהו – חוט, מקל, שעון חול, מים, חול…

בנוסף על פעולות הקדם שלפני שמשווים באופן ישיר, יש כאן את הצורך לחפש מתווך מתאים. שיקול זה שם זרקור נוסף על תכונות העצמים שרוצים למדוד, והסתכלות על תכונות המתווכים האפשריים.

א) טעויות אופטיות – מה ארוך יותר – הגובה שלי או הרוחב שלי כשאני מושיטה את הידיים הצידה?

דוגמאות נוספות:

ב) הגבלת זמן מסכים – מתי צריך להפסיק? – כשאמא חוזרת מהעבודה. החזרה של אמא היא המתווך הנותן לי לדעת שהזמן עבר.

ג) חיפוש קופסה מתאימה ליצירה שהכנתי בבית ספר – במקום להביא כמה קופסאות לבית הספר, אפשר לציירת את קווי המתאר של היצירה. קווי

ד) באמבטיה או בארגז החול – משחק מעולה שאפשר לשחק עם ילדים באמבטיה או בארגז חול – מביאים מספר כלים בגדלים ובצורות שונים.

כל פעם משווים בין שני כלים, ושואלים לאיזה יש נפח גדול יותר. לפני שבודקים, "מנחשים" ואז בודקים. עם הניסיון, הניחושים יהפכו להיות אומדנים מחושבים.

כאשר אין אפשרות להכניס כלי אחד לתוך השני, ולכן אי אפשר להשוות ביניהם באופן ישיר, אפשר להשתמש במים או בחול כמתווך. ממלאים כלי אחד במים או בחול, מעבירים את התכולה לכלי השני, ובודקים אם נשאר מקום בכלי השני או אם המים עלו על גדותיהם (או אולי הם מכילים בדיוק את אותה הכמות!)

 

3 מדידה בעזרת יחידות מידה לא סטנדרטיות

א) מדידות בחיי יומיום – זהו משחק מלמד ומהנה לכל המשפחה.

כשמתעוררת סיטואציה שיש צורך במדידה, במקום לרוץ ישר למטר או לשעון, אפשר להציע אפשרויות של יחידות לא סטנדרטיות (לאורך – צעדים, מהדקי נייר, עיתים; לשטח – מחברות, קלפים; לזמן – שעון חול, מטרונום, מטוטלת מאולטרת; לנפח – כוסיות מים, גולות).

מחליטים על יחידת מידה מתאימה ומבקשים מכל אחד/אחת להציע השארה ולסביר מדוע היא נראית לו/לה הגיונית. מתחילים למדוד. באמצע ביצוע המדידה (הליכה עד אמצע הדרך, מילוי חלקי של קופסה…) עוצרים. בשלב זה כל אחד/אחת מוזמנת לשנות את ההשארה הקודמת.  (מצב זה נותן אמת מידה המאפשרת אומדן מבוסס יותר). כשגומרים למדוד בודקים את המידה בה התקרבו לתוצאה האמיתית.

 

ב) פעילויות יזומה

ציוד: מבחר עצמים שיכולים לשמש יחידות מידה:

לאורך – מהדקי נייר גדולים וקטנים, גפרורים, מקלות ארטיק, חוטים;

לזמן – מטוטלת, שעון חול, צעצועים קפיציים, מטרונום;

לנפח – גולות, צדפים בגודל דומה, כוסיות למדידת מים או חול;

לשטח – נייר משובץ, קלפים, קופסרות גפרורים;

למשקל – לשימוש עם מאזניים – אומים, ברגים, קופסאות שימורים קטנות, צעצועים קטנים זהים (בובות, מכוניות, חלקי בניה, מגנטים…)

הפעילות ממשיכה כמו זו שתיארתי לפעילויות בחיי יומיום –  בוחרים יחידת מידה, משארים ומסבירים למה, מתחילים למדוד ועוצרים באמצע כדי לאפשר אומדן מדוייק יותר, משווים את האומדנים לתוצעות בפועל.

 

4 מדידה בעזרת יחידות סטנדרטיות

אותן הפעילויות שמשתמשים בהן ליחידות הלא סטנדרטיות מתאימות גם כאן. אפשר להפעיל את אותם השיקולים כמו בעבודה עם יחידות לא סטנדרטיות, דבר שהופך גם מדידות אלה למובנות יותר ומשמעותיות יותר ממה שבדרך כלל פוגשים בעבודה קונבנציונלית.